Jairo José Flores Morales
PhD. en Matemáticas Aplicadas
prof-fjairom@uml.edu.ni
Universidad Martín Lutero
Resumen
Este trabajo aborda la planificación didáctica de actividades muy bien organizadas por parte del profesorado, y las implicaciones que pueden tener si se le agrega un componente tecnológico al mismo; en el cual los estudiantes comprendan tópicos matemáticos, junto con sus aplicaciones directas ajustadas a su perfil profesional. Para ello, se usa la investigación acción dentro del paradigma crítico, busca una intervención social, en la que los sujetos de estudio participan activamente y el investigador analiza su realidad y las acciones concretas para modificarla. Por tanto, el Modelo de Enseñanza Asistida de las Matemáticas, se sitúa dentro de las líneas investigativas de la Educación Matemática, teniendo como parte fundamental el mejoramiento de la praxis magisterial en esta importante área del saber. Los resultados ponen de manifiesto la necesidad de iniciar un cambio en la forma en que se enseña matemática, partiendo de la idea de la integración de la Semiótica, la Teoría de Situaciones Didácticas, la Teoría Antropológica de lo Didáctico, el Conocimiento Tecnológico y Pedagógico de Contenido y la Ingeniería Didáctica, como elementos necesarios para ofrecer una clase atractiva para los estudiantes, y que garantice resultados competenciales en sus aprendizajes. Los resultados del estudio indican que el éxito del docente en las sesiones de clase, radica en la forma en que se abordan los contenidos y la motivación que se le puede dar al estudiantado, y el modelo de enseñanza que se use.
Palabras clave: Planificación didáctica, educación matemática, teoría antropológica, conocimiento tecnológico.
Towards a comprehensive model for assisted teaching and learning of mathematics
Abstract
This work deals with the didactic planning of very well organized activities by teachers, and the implications that they may have if a technological component is added to it; in which students understand mathematical topics, along with their direct applications adjusted to their professional profile. For this, action research is used in the critical paradigm, seeks a social intervention, in which the study subjects actively participate and the researcher analyzes their reality and the concrete actions to modify it. Therefore, the Model of Assisted Teaching of Mathematics is situated within the investigative lines of Mathematics Education, having as a fundamental part the improvement of teaching praxis in this important area of knowledge. The results show the need to initiate a change in the way mathematics is taught, starting from the idea of integrating Semiotics, the Theory of Didactic Situations, the Anthropological Theory of the Didactic, the Technological and Pedagogical Knowledge of Content and Didactic Engineering as necessary elements to offer an attractive class for students, and that guarantees competence results in their learning. The results of the study indicate that the success of the teacher in the class sessions lies in the way in which the contents are approached, the motivation that can be given to all the students and teaching model that is used.
Key Words: Didactic planning, mathematical education, anthropological theory, technological knowledge.
1. Introducción
El mejoramiento de la calidad en la enseñanza de las matemáticas en las universidades, ha ido generando recientemente un cambio vertiginoso en la forma de abordar los contenidos, con una óptica que involucra a la didáctica como eje fundamental para facilitar aprendizajes significativos en los estudiantes. En ese sentido, diversos investigadores recomiendan que se debe poner énfasis en una planificación docente actualizada, acorde al contexto en que el estudiante se desarrolla (Litwin, 2005; UNESCO, 2006; Real, 2011; Cruz & Puentes, 2012; Casas & Stojanovic, 2013; Zamora, 2016). Cabe destacar, que una buena planificación de la formación constituye una pieza básica para una docencia con calidad, más aún, si se conoce que los estudiantes demandan aprender usando entornos tecnológicos. Por tanto, es meritorio que las grandes casas de estudios deban proveer este recurso, como bien lo expresan dentro de sus políticas holísticas de enseñanza globalizada.
Para un docente, encontrar formas para hacer mejor su trabajo ha sido una constante a lo largo de los tiempos. El buscar nuevas estrategias de enseñanza, motivar a los estudiantes hacia el nuevo aprendizaje en forma diferente, aprovechar cada recurso disponible con la finalidad de que la clase sea mejor entendida, son algunas de las innovaciones didácticas que se necesitan en la actualidad dentro del campo educativo. Precisamente, la planificación didáctica juega un papel relevante ante la oleada de transformaciones que está sufriendo constantemente la educación matemática, ya sea desde la perspectiva curricular con su análisis didáctico y cognitivo, hasta la formación de secuencias didácticas que por sí mismas se articulan en torno a las mismas organizaciones plasmadas a nivel curricular.
Lamentablemente, existe un temor generalizado de los docentes para enfrentar nuevos retos en materia de enseñanza. Del Valle & Calvo (2011), citados por Flores (2015) exponen que en la actualidad son muchos los docentes que poseen un temor tecnológico en las aulas escolares, evitando hasta más no poder usar las herramientas que éstas ofrecen. Entonces, no cabe duda, que las bondades que las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) ponen a nuestra disposición por sí solas no podrán mejorar los aprendizajes en los estudiantes, necesitan del docente para que su efectividad sea una completa realidad. Esta simbiosis es necesaria en los tiempos modernos, ya que los estudiantes viven en una era digital y resulta contraproducente que sus docentes se queden en la era de las cavernas en materia educativa.
2. Metodología investigativa
La experiencia nace producto de la realidad que pasa el docente al momento de enseñar matemáticas en el aula de clase, sobre todo, por una necesidad de responder a los intereses con que desean aprender los estudiantes de esta era moderna y llena de tecnologías. El estudio se basó en el paradigma crítico, y en el enfoque de investigación acción, propio para tratar temas educativos de mucho interés, con la finalidad de resolver una problemática muy sentida en este ámbito. La recogida de información se dio en cada sesión donde se aplicó el MEAAM, por medio de entrevistas, grupos focales, y resultados ofrecidos en los exámenes finales de asignatura. Se usó la teoría fundamentada, y la codificación línea a línea para analizar la información; al igual que el programa Atlas ti, en su versión 8 para todo el análisis cualitativo. Se contó con observadores invitados para vivenciar la aplicación del modelo, sus recomendaciones fueron tomadas en cuenta para la aplicación en otros grupos de clase.
También el MEAAM contó con mejoras a su estructura por parte de observaciones dadas inicialmente por el Dr. Winston Joseph Zamora Díaz como parte del programa doctoral en Matemáticas Aplicadas llevada a cabo por la Universidad Central Martha Abreu de Las Villas Claras, Cuba. Seguidamente el Dr. Yves Matheron, y el Dr. Gilles Aldon, especialistas en Didácticas de las Matemáticas de la Escuela Francesa, dieron sugerencias valiosas en la I Escuela de Verano en Didáctica de las Matemáticas celebrada en la Universidad de Costa Rica (UCR), como parte del II Simposio Internacional de Matemática Educativa (SIME). De igual forma, mediante una presentación del MEAAM al Dr. Herman Van de Velde, profesor de origen belga, residente en Nicaragua y coordinador de ABACO en Red; él ofreció aportes significativos al modelo en relación a los aprendizajes que este logra conseguir con los estudiantes. Para cumplir con la sistematicidad del modelo, fue puesto a prueba desde el 2017-2018 con diferentes grupos de clase en la Universidad nacional Autónoma de Nicaragua (UNAN Managua), y nuevamente en el 2019-2021 con estudiantes de la Universidad Martín Lutero (UML), en su campus Nueva Guinea, ofreciendo los resultados que a continuación se detallan.
3. Sistematización exhaustiva de la experiencia práctica
El Modelo de Enseñanza y Aprendizaje Asistido de las Matemáticas (MEAAM), es un modelo teórico basado en elementos de la didáctica de las Matemáticas como ciencia de difusión de praxeologías en la sociedad, que pretende contribuir en los procesos dinámicos de microplanificación, busca ampliar y modificar la perspectiva de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; y sugerir de forma novedosa la utilización de situaciones fundamentalmente a-didácticas en la organización didáctica del docente.
El MEAAM, propone la utilización de herramientas tecnológicas en la enseñanza matemática, basada en el TPACK, como una forma de actualización magisterial en tres relevantes conocimientos: el disciplinar, tecnológico y pedagógico. Estos tres conocimientos posicionan al docente para enfrentar los retos modernos de la actual forma de enseñanza, y de los principales intereses estudiantiles referidos en su aprendizaje y contexto digital en que se encuentran inmersos.
El modelo permite asistir al docente desde la microplanificación, al estudiante desde la construcción de conocimientos por él mismo y su misma retroacción constante con el medio validador de aprendizajes. Por otro lado, utiliza las bondades que ofrecen las situaciones praxeológicas propias de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) y la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD), como elemento fundamental para crear actividades con un enfoque a-didáctico. Fomenta la evaluación formadora como garante de verbalizaciones estudiantiles y metacognición sistémica; e involucra el uso de la epistemología matemática en la organización didáctica, secuencia de actividades con orden lógico, materiales concretos, medios tecnológicos, clases al revés, transposición didáctica y los intereses de los estudiantes, acorde al objeto matemático a desarrollar.
Este modelo, ofrece una vía alterna para planificar, un uso con sentido didáctico de las tecnologías, permite al estudiante su autorregulación, desde una concepción motivadora en la enseñanza matemática. En base a ello, la aplicación del modelo está regido por principios pedagógicos como: centrar la atención en los estudiantes y en sus procesos de aprendizaje, planificar para potenciar el aprendizaje, tener en cuenta los saberes previos del alumno, diseñar situaciones didácticas que propicien el aprendizaje, dar un fuerte peso a la motivación intrínseca del estudiante, generar ambientes de aprendizaje, trabajar en colaboración para construir el aprendizaje, poner énfasis en el desarrollo de competencias y los aprendizajes esperados, usar materiales educativos para favorecer el aprendizaje, entender la evaluación como un proceso relacionado con la planificación, modelar el aprendizaje, mostrar interés por los intereses de los alumnos, revalorizar y redefinir la función del docente.
Cada actividad que se elabore con este modelo, debe favorecer al estudiante la capacidad individual para utilizar las matemáticas, en función de satisfacer las necesidades de la vida personal como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo (OCDE, 2003). Además, se utiliza la evaluación como motor del aprendizaje, se gestiona el aula y se busca hacer que los estudiantes argumenten sus ideas en todo momento. Por otro lado, al utilizar materiales concretos manipulables, software matemático y otras herramientas tecnológicas, se crea la cultura de implicar los avances en materia tecnológica hacia una enseñanza actualizada de las Matemáticas.
3.1 Ejemplo de uso del MEAAM en cálculo diferencial
- Gestionando conocimientos previos
– Dada la circunferencia:
a) Trace una recta secante.
b) Trace una recta tangente.
c) ¿Qué conocimientos matemáticos fueron necesarios para realizar los puntos a y b? Argumenta.
La siguiente gráfica representa la función f(x)=2x-2.
En la misma ubique los puntos A (1,0) y B (4,6) que pertenecen a la recta.
a) Teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, encuentre la tangente del ángulo indicado y compare esa medida usando el transportador.
b) Si la tangente del ángulo es igual a la pendiente, o sea , verifique si la respuesta anteriormente encontrada es igual al encontrado con la fórmula para encontrar la pendiente de una recta sabiendo que pasa por dos puntos.
c) ¿Cómo concibe el concepto de pendiente?, ¿Consideras que se refiere a lo mismo que inclinación?, argumente.
- Hacia la construcción del concepto geométrico de derivada de una función en un punto
-Dada la siguiente gráfica:
Responda:
a) ¿En cuántos puntos corta la recta L a la curva?, ¿Qué nombre recibe la recta L?
b) Ubiquemos las coordenadas de corte entre la recta L y la curva, formando así un triángulo rectángulo. A los catetos del rectángulo le llamaremos ∆x y ∆y por ser variaciones de distancias entre (x+∆x)-∆x; f(x+∆x)- f(x) respectivamente.
c) ¿Qué significado tiene y para la recta L?
d) Apóyese de una regla y/o usando Graph como apoyo visual, observe y comente sobre: ¿Qué sucede si disminuye?, ¿y si disminuye?
Apoyo visual de Graph:
e) ¿Qué pasa con la recta L si al disminuir ésta se aproxima a cero?
f) Si tanθ=∆y/∆x y que ∆y= f(x+∆x)- f(x); calcule tanθ.
Se espera que el estudiante llegará a la conclusión que 
pendiente de la recta secante.
g) ¿Puede =0?, argumente.
h) ¿De qué manera el cálculo del límite de una función podría ayudarnos con análisis de esta situación?
Comentarios del profesor: El profesor interviene y expone:
- Regulando los aprendizajes
a) Sea la función f(x)= x2+2x+1, calcule la pendiente en el punto (2,9) con apoyo del software Graph.
Respuesta: Primero graficamos la función:
Luego graficamos su derivada.
En este caso observamos que la función lineal generada por Graph, es la derivada de la función cuadrática.
Figura 8. Resultado de la derivada de la función cuadrática
La función es f’(x)=2x+2, si se sustituye el valor de x=2, que es la abscisa del punto dado anteriormente (2,9) que pertenece a la función cuadrática, obtenemos:
f’(2)=2(2)+2
f’(2)=6
El resultado, o sea el 6, sería el valor de la pendiente de la recta tangente en el punto (2,9) de f(x)= x2+2x+1, que nos pedía calcular el ejercicio.
Se les pide a los estudiantes que comprueben esa pendiente con el uso de graph, en su submenú insertar tangente.
f(x)=6x-3 es la recta tangente a la función original en el punto (2,9), visualizando de igual forma que 6 es la pendiente de la recta. (Recordarles a los estudiantes que y=mx+b es la ecuación de la recta, en donde m es la pendiente).
Figura 9. Recta tangente al punto (2,9) de la curva
Lo verificamos gráficamente con Graph:
- Luego se les asigna a los estudiantes las siguientes preguntas para discutir y consolidar el conocimiento matemático abordado:
a) De acuerdo con la gráfica anterior obtenida por el software (Graph).
¿Qué representa la recta con respecto a la función original?
b) ¿Comente que pasaría si x toma otros valores que pertenecen a la gráfica de la función? Puedes usar los puntos (1,3), (-1,0) y (-3,4). ¿El signo de la pendiente es el mismo?, ¿A qué se debe eso?
c) ¿Es posible que por un punto (x, y) ubicado fuera o dentro de la parábola se puedan trazar una o más tangentes a ésta? Utilice el software como apoyo para resolver esta situación.
d) Si la función original era cuadrática y su derivada era lineal, ¿en cuánto disminuyó su grado?, ¿sucederá lo mismo con una función de grado 4, de grado 3 o de grado 1?, Usa Graph para verificarlo. ¿Qué conclusiones puedes sustraer?
Deber para la próxima sesión de clase: Visualizar dos videos tutoriales elaborados por su docente, en donde se deriven funciones polinómicas, usando la definición geométrica y las reglas básicas de derivación (Uso de clases al revés).
Enlaces:
https://www.facebook.com/mateayuda.ni
https://www.youtube.com/watch?v=1fv77ASlCAM&t=95s
4. Conclusiones
En esta experiencia sistematizada, se destaca todo lo concerniente a los modelos de enseñanza matemática que están siendo usados a nivel mundial, sobre la actitud estudiantil hacia el uso de TIC en el proceso de enseñanza y aprendizaje, los alcances que las TIC poseen, y la forma de crear un modelo que responda a las necesidades contextuales de Nicaragua. La actitud de los estudiantes ante el uso de las TIC es muy positiva, se motivan constantemente, involucrándose de lleno en las actividades que usaban este componente tecnológico, destacando en gran medida, la importancia de aprender con videos tutoriales, software y hasta aplicaciones móviles.
La verbalización de los aprendizajes fue una característica presente en todas las sesiones de clase donde se usó el modelo, los estudiantes respondían a interrogantes, cuestionaban sus respuestas, opinaban sin temor alguno, sobre todo, mantuvieron un feed-back constante con su docente y entre ellos mismos. Por otro lado, la plena participación en clase dio pautas para que los trabajos colaborativos permitieran que ellos mismos autorregularan su aprendizaje con un interés absoluto. El estudiante se convierte con este modelo en un agente activo de su aprendizaje, gestionando de esta forma su conocimiento, la secuencia de actividades permitieron la autorregulación de los aprendizajes, manteniendo su interés y participación por la actividad siguiente. Aspecto que se logró gracias a la forma de alternar la tarea (T), el tipo de tarea (τ), la tecnología (θ) y la teoría (Θ).
En el MEAAM, el docente facilita activamente el aprendizaje de los estudiantes, al dedicar disposición y tiempo para la creación de secuencias didácticas microplanificadas, videos tutoriales, materiales manipulables, diapositivas e investigación sobre la historia matemática del tópico a desarrollar. La gestión docente durante la aplicación del MEAAM, debe estar dirigida a mantener interesados a los estudiantes por el nuevo aprendizaje que estaban por alcanzar, fomentando desde un inicio la necesidad de resolver cada una de las actividades para lograr comprender el objeto matemático en estudio. De ahí, que la serie de pasos organizativos dentro de la planificación sean la base para lograr dicho propósito. El orientar correctamente las actividades, integrar a las TIC la enseñanza, utilizar la epistemología al iniciar la clase, la transposición didáctica y permitir la autorregulación de los aprendizajes, fueron aspectos que sin lugar a duda fortalecieron esta forma diferente de enseñar y a la vez aprender Matemática.
El MEAAM ofrece la posibilidad de microplanificar la enseñanza Matemática por medio de situaciones fundamentales, que, bajo condiciones particulares y bien organizadas, conduce al estudiante a “hacer” Matemática sin la influencia constante del docente. La estructura del MEAAM asiste en forma dinámica el proceso de enseñanza y aprendizaje, basándose en teorías de renombre en el ámbito didáctico como lo son el TAD, TSD y el TPACK. El modelo permite asistir al docente desde la micro-planificación, asiste al estudiante desde sus conocimientos previos, y para que construya por sí mismo y su interacción con el medio, aprendizajes relevantes.
La organización interna del MEAAM está caracterizada por el hecho de utilizar la epistemología matemática como parte inicial de la planificación acorde al objeto matemático a desarrollar; promueve el involucramiento sustancial de las TIC como medio actualizado en la enseñanza matemática; fomenta la creación de secuencias de actividades a-didácticas que garanticen un hilo conductor en todo su recorrido; utiliza materiales manipulables que permiten al estudiante hacer más sencillo el aprendizaje matemático; involucra los diseños de clases al revés, donde el estudiante estudia en casa y refuerza el contenido en clase; sugiere la utilización de la transposición didáctica que transforma el saber sabio; enmarca una constante retroacción didáctica en el caso del docente, estudiantil y con el medio que rodea al estudiante; mantiene la evaluación formadora como un lineamiento intocable que favorece la regulación de los aprendizajes y la verbalización de saberes; y por último permite la reflexión constante del docente, añadiendo un componente de apertura a cambios sustanciales que solamente se logran incorporar, cuando es sustraída de resultados de intervenciones educacionales.
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